6970. Медианы AL
и BM
треугольника ABC
пересекаются в точке K
. Найдите длину отрезка CK
, если AB=\sqrt{3}
и известно, что около четырёхугольника KLCM
можно описать окружность.
Ответ. 1.
Решение. Пусть CN
— третья медиана треугольника ABC
. Обозначим KN=x
. Тогда CN=3x
(см. задачу 1207). По теореме о средней линии треугольника ML\parallel AB
, поэтому \angle KAN=\angle MLK
. Вписанные в окружность углы MCK
и MLK
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle KAN=\angle MLK=\angle MCK=\angle ACN.
Значит, треугольники KAN
и ACN
подобны по двум углам (угол при вершине N
— общий). Тогда \frac{AN}{CN}=\frac{KN}{AN}
, или \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3x}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
. Отсюда находим, что x=\frac{1}{2}
. Следовательно,
CK=2x=1.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2011