6971. Медианы AP
и BQ
треугольника ABC
пересекаются в точке D
. Найдите длину отрезка AB
, если CD=\sqrt{12}
и известно, что вокруг четырёхугольника PCQD
можно описать окружность.
Ответ. 6.
Решение. Пусть CR
— третья медиана треугольника ABC
. Обозначим AR=BR=x
. По теореме о медианах треугольника (см. задачу 1207)
DR=\frac{1}{2}CR=\sqrt{3},~CR=3DR=3\sqrt{3}.
По теореме о средней линии треугольника PQ\parallel AB
, поэтому \angle DAR=\angle QPD
. Вписанные в окружность углы QPD
и QCD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DAR=\angle QPD=\angle QCD=\angle ACR.
Значит, треугольники DAR
и ACR
подобны по двум углам (угол при вершине R
— общий). Тогда \frac{AR}{CR}=\frac{DR}{AR}
, или \frac{x}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{x}
. Отсюда находим, что x=3
. Следовательно,
AB=2x=6.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2011