6972. Две окружности касаются внутренним образом в точке T
. Хорда AB
внешней окружности касается внутренней окружности в точке S
. Прямая TS
пересекает внешнюю окружность в точках T
и C
. Найдите площадь четырёхугольника TACB
, если известно, что CB=BT=3
, а радиусы окружностей относятся как 5:8
.
Ответ. 8\sqrt{2}
.
Решение. Пусть внутренняя окружность пересекает отрезки TA
и TB
в точках M
и N
соответственно, а P
— точка пересечения прямой AB
с общей касательной к окружностям, проведённой в точке T
. Предположим, что точка B
лежит между A
и P
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle PAT=\angle BAT=\angle BTP=\angle NMT,
поэтому MN\parallel AB
. Тогда треугольник MTN
подобен треугольнику ATB
, причём коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, т. е. \frac{5}{8}
. Кроме того,
\angle ATS=\angle MTS=\angle MNS=\angle BSN=\angle BTS,
т. е. TS
(а значит, и TC
) — биссектриса угла ATB
. Поскольку равные вписанные углы опираются на равные хорды, AC=BC=BT=3
. Таким образом, три стороны вписанного в окружность четырёхугольника TACB
равны. Следовательно, это равнобедренная трапеция или прямоугольник (см. задачу 3476). Из подобия треугольников MTN
и ATB
также следует, что \frac{TS}{TC}=\frac{5}{8}
, значит, \frac{TS}{CS}=\frac{5}{3}
. Тогда треугольник AST
подобен треугольнику BSC
с коэффициентом \frac{5}{3}
, поэтому
AT=\frac{5}{3}BC=\frac{5}{3}\cdot3=5.
Осталось найти площадь равнобедренной трапеции TACB
с основаниями BC=3
, AT=5
и боковыми сторонами AC=BT=3
. Пусть BH
— высота трапеции. Тогда (см. задачу 1921)
TH=\frac{AT-BC}{2}=\frac{5-3}{2}=1,~BH=\sqrt{BT^{2}-TH^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{TACB}=\frac{AT+BC}{2}\cdot BH=4\cdot2\sqrt{2}=8\sqrt{2}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2016