6982. Окружность, построенная на стороне AC
треугольника ABC
как на диаметре, пересекает стороны AB
и BC
в точках D
и E
соответственно. Площадь треугольника BDE
относится к площади треугольника ABC
как 1:2
, \angle CDE=30^{\circ}
. Отрезки AE
и CD
пересекаются в точке O
. Найдите BO
, если CE=1
.
Ответ. 2.
Решение. Точки D
и E
лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle ADC=\angle AEC=90^{\circ}
. Значит, AE
и CD
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Треугольник EBD
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\angle ABC=\frac{1}{\sqrt{2}}
(см. задачи 19 и 3008), поэтому \angle ABC=45^{\circ}
. Тогда
\angle BAE=90^{\circ}-\angle ABC=45^{\circ}.
Вписанные углы CAE
и CDE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAE=\angle CDE=30^{\circ}.
Тогда
BE=AE=CE\ctg30^{\circ}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}.
Пусть прямая BO
пересекает сторону AC
в точке H
. Тогда BH
— третья высота треугольника ABC
(см. задачу 1256), поэтому
\angle OBE=\angle HBC=\angle CAE=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника BOE
находим, что
OB=\frac{BE}{\cos\angle OBE}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016, № 7