6984. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника, h_{a}
— наименьшая высота, h_{c}
— наибольшая высота. Докажите, что h_{a}\lt3r\lt h_{c}
.
Указание. См. задачу 5314
Решение. Сумма расстояний от точки, взятой внутри треугольника, до его сторон больше наименьшей и меньше наибольшей высоты треугольника (см. задачу 5314). Сумма расстояний от центра вписанной окружности до сторон треугольника равна 3r
, следовательно, h_{a}\lt3r\lt h_{c}
.
Источник: Зетель С. И. Задачи на максимум и минимум. — М.—Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — № 15, с. 20