6988. Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным противолежащим углом равнобедренный имеет наименьшую медиану, проведённую из вершины этого угла, если угол тупой, и наибольшую медиану, если угол острый.
Решение. Опишем окружность около равнобедренного тупоугольного треугольника ABC
с вершиной C
, O
— центр этой окружности, точка D
— середина стороны AB
, а F
— отличная от C
точка на дуге AB
, содержащей точку C
. Поскольку угол ACB
тупой, точка O
лежит на продолжении отрезка CD
за точку D
, поэтому OD+DC=OC=OF
.
Применяя неравенство треугольника к треугольнику ODF
, получим, что
OF\lt OD+DF,~\mbox{или}~OD+DC\lt OD+DF,
откуда DC\lt DF
. Что и требовалось доказать.
Пусть теперь угол ACB
острый. Тогда центр O
описанной окружности равнобедренного треугольника ABC
лежит на отрезке CD
, поэтому OC+OD=CD
.
Применяя неравенство треугольника к треугольнику ODF
, получим, что
DF\lt OF+OD,~\mbox{или}~DF\lt OC+OD=CD.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Для прямоугольного треугольника медиана имеет постоянное значение (см. задачу 1109).