6989. В данную окружность впишите четырёхугольник с наибольшим периметром и данной диагональю.
Указание. См. задачу 5094.
Решение. Строим хорду AC
данной окружности, равную данной диагонали. Через центр окружности проводим прямую, перпендикулярную построенной хорде. Точки пересечения B
и D
этой прямой с окружностью есть искомые вершины четырёхугольника ABCD
(см. задачу 5094).
Примечание. Из доказанного следует, что из всех прямоугольников, вписанных в данную окружность, квадрат имеет наибольший периметр. Этот периметр равен 4R\sqrt{2}
, где R
— радиус окружности.