6991. В окружность вписан четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC=a
, \angle BCD=\alpha
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, B
и M
, где M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{a}{2\sin\alpha}
.
Решение. Вписанные углы ACB
и BDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ACB=\angle BDC
. Тогда
\angle AMD=\angle MCD+\angle MDC=\angle ACD+\angle BDC=
=\angle ACD+\angle ACB=\angle NCD=\alpha.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника AMB
. Тогда (см. задачу 23)
R=\frac{AB}{2\sin\angle(180^{\circ}-\angle AMD)}=\frac{AB}{2\sin\angle AMD}=\frac{a}{2\sin\alpha}.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1994, I, III тур, 1-й раунд, 9 класс