6995. Через вершину B
треугольника ABC
проведена прямая l
, пересекающая биссектрису угла A
в точке K
, а описанную около треугольника ABC
окружность — в точке M
. Обозначим через Q
центр описанной около треугольника AKC
окружности. Докажите, что при изменении прямой l
окружность, проходящая через точки Q
, C
и M
, содержит фиксированную, отличную от C
точку. (Считаем, что M
отлична от B
и никакие из точек Q
, C
и M
не совпадают.)
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть S
— окружность, описанная около треугольника ABC
, s
— окружность, описанная около треугольника AKC
, R
— точка пересечения биссектрисы угла A
с серединным перпендикуляром к стороне AC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Из равнобедренного треугольника ARC
находим, что
\angle ARC=180^{\circ}-2\angle RAC=180^{\circ}-2\cdot\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha.
Вписанные в окружность S
углы BMC
и BAC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle KMC=\angle BMC=\angle BAC=\alpha,
а так как KQC
— центральный угол окружности s
, а KAC
— соответствующий ему вписанный угол, то
\angle KQC=2\angle KAC=2\cdot\frac{\alpha}{2}=\alpha=\angle KMC.
Отрезок CK
виден из точек Q
и M
, лежащих по одну сторону от прямой CK
, под одним и тем же углом. Значит, точки Q
, M
, C
, K
лежат на одной окружности (см. задачу 12).
Кроме того,
\angle KRC=\angle ARC=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle KMC,
значит, четырёхугольник KRCM
— вписанный, и точки K
, R
, C
и M
также лежат на одной окружности. Через три точки M
, K
и C
, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, следовательно, все пять точек M
, K
, C
, Q
и R
лежат на одной окружности. Таким образом, окружность, проходящая через точки Q
, C
и M
, содержит точку R
.
Аналогично для остальных случаев.