6998. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если площади треугольников ABD
, ACD
и AED
равны соответственно 10, 9 и 6.
Ответ. 15.
Указание. \frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle AED}}=\frac{S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle CDE}}
(см. задачу 3000).
Решение. Из условия задачи следует, что
S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AED}=10-6=4,
S_{\triangle CDE}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AED}=9-6=3.
Значит (см. задачу 3000),
\frac{S_{\triangle BEC}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{BE}{ED}=\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle AED}}=\frac{2}{3},
S_{\triangle BEC}=\frac{2}{3}S_{\triangle AED}=\frac{2}{3}\cdot3=2.
Следовательно,
S_{ABCD}=10+6+3+2=15.