7027. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол между апофемой и плоскостью соседней боковой грани.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{3}}{7}
.
Решение. Пусть ABCDEFP
— данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
; M
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
; K
— середина AB
, G
— середина AF
. Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
. Поскольку пирамида правильная, PM
— её высота. Из условия следует, что PM=a
. Кроме того, PK\perp AB
и MK\perp AB
. Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол PKM
, а так как MK
— высота равностороннего треугольника ABM
со стороной a
, то MK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Из прямоугольного треугольника PKM
находим,что
\tg\beta=\tg\angle PKM=\frac{PM}{MK}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}},~\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{7}}.
Апофему PK
пирамиды находим из прямоугольного треугольника PKM
:
PK=\sqrt{PM^{2}+MK^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.
Найдём угол между апофемой PK
и плоскостью грани APF
. Пусть Q
— ортогональная проекция точки K
на плоскость грани APF
, \varphi
— искомый угол. Тогда \varphi=\angle KPQ
и \sin\varphi=\frac{KQ}{PK}
.
Поскольку K
— середина отрезка AB
, расстояние KQ
от точки K
до плоскости грани APF
вдвое меньше расстояния от точки B
до этой плоскости (см. задачу 9180), а так как прямая BE
параллельна плоскости APF
, то все её точки равноудалены от этой плоскости. Поэтому расстояние от точки B
до плоскости грани APF
равно высоте MT
прямоугольного треугольника PMG
. Так как \angle PGM=\angle PKM=\beta
, то
MT=MG\sin\beta=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Поэтому
KQ=\frac{1}{2}MT=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
Следовательно,
\sin\varphi=\frac{KQ}{PK}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{7}.