7125. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
совпадают, то прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
параллельны одной плоскости.
Указание. См. задачу 4501.
Решение. Рассмотрим случай, когда ни одна из вершин первого треугольника не совпадает с вершиной второго.
Пусть M
и M_{1}
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Тогда
\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MA_{1}},~\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MB_{1}},~\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MC_{1}}.
Сложив эти равенства, получим, что
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MA_{1}})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MB_{1}})+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MC_{1}})=
=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MB_{1}}+\overrightarrow{MC_{1}})=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4501). Следовательно, прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
параллельны одной плоскости.