7149. Докажите, что расстояние от центра O
радиуса сферы радиуса R
, описанной около тетраэдра ABCD
, до точки G
пересечения медиан тетраэдра можно вычислить по формуле
OG^{2}=R^{2}-\frac{1}{16}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}+BC^{2}+AC^{2}+AB^{2}).
Решение. Из векторного равенства \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}
следует, что
AB^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^{2}=
=\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OA}^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=DB^{2}+DA^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB},
поэтому
2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}=2R^{2}-AB^{2}.
Аналогично
2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=2R^{2}-AC^{2},~2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=2R^{2}-AD^{2},
2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=2R^{2}-BC^{2},~2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=2R^{2}-BD^{2},~2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=2R^{2}-CD^{2}.
Поскольку
\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})
(см. задачу 7243), то
\overrightarrow{OG}^{2}=\frac{1}{16}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})^{2}=\frac{1}{16}(\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+\overrightarrow{OD}^{2}+
+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD})=
=\frac{1}{16}(4R^{2}+2R^{2}-AB^{2}+2R^{2}-AC^{2}+2R^{2}-AD^{2}+
+2R^{2}-BC^{2}+2R^{2}-BD^{2}+2R^{2}-CD^{2})=
=\frac{1}{16}(16R^{2}-AB^{2}-AC^{2}-AD^{2}-BC^{2}-BD^{2}-CD^{2})=
=R^{2}-\frac{1}{16}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}+BC^{2}+AC^{2}+AB^{2}).
Что и требовалось доказать.