7243. Пусть O
— произвольная точка пространства. Докажите, что G
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
тогда и только тогда, когда
\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).
Указание. См. задачи 4505, 4186 и 7110.
Решение. Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины (см. задачу 7110). Пусть G
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
, M_{d}
— точка пересечения медиан грани ABC
. Тогда \frac{DG}{GM_{d}}=3
, поэтому для произвольной точки O
пространства
\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OD_{d}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=
=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).
(см. задачи 4186 и 4505).
Пусть теперь для произвольной точки O
верно равенство
\overrightarrow{OG_{1}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).
Тогда
\overrightarrow{GG_{1}}=\overrightarrow{OG_{1}}-\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})-\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{0}.
Следовательно, G_{1}
совпадает с точкой G
пересечения медиан тетраэдра ABCD
. Что и требовалось доказать.