7150. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около тетраэдра ABCD
, G
— точка пересечения медиан грани ABC
, M
— точка, удовлетворяющая условию \overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OG}
. Выразите расстояние DM
через R
и рёбра тетраэдра.
Ответ. OM^{2}=4R^{2}+DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}-BC^{2}-AC^{2}-AB^{2}.
Указание. \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}.
Решение. Из векторного равенства \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}
следует, что
AB^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^{2}=
=\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OA}^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=DB^{2}+DA^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB},
поэтому
2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}=2R^{2}-AB^{2}.
Аналогично
2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=2R^{2}-AC^{2},~2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=2R^{2}-DA^{2},
2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=2R^{2}-BC^{2},~2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=2R^{2}-DB^{2},~2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=2R^{2}-DC^{2}.
Поскольку
\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505), то
\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{DO}+3\overrightarrow{OG}=-\overrightarrow{OD}+3\cdot\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=
=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}.
Значит
DM^{2}=\overrightarrow{DM}^{2}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})^{2}=
=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+\overrightarrow{OD}^{2}+
+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=
=4R^{2}+2R^{2}-AB^{2}+2R^{2}-AC^{2}+2R^{2}-BC^{2}-
-2R^{2}+DA^{2}-2R^{2}+DB^{2}-2R^{2}+DC^{2}=
=4R^{2}+DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}-BC^{2}-AC^{2}-AB^{2}.