7151. Докажите, что если рёбра тетраэдра, имеющие общую вершину, равны a
, b
и c
, остальные рёбра равны a_{1}
, b_{1}
и c_{1}
, а радиус описанной сферы равен R
, то
a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\leqslant4R^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}.
Указание. См. задачу 7150.
Решение. Пусть G
— точка пересечения медиан грани со сторонами a_{1}
, b_{1}
и c_{1}
, O
— центр описанной около тетраэдра сферы, M
— точка, удовлетворяющая условию \overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OG}
. Тогда
OM^{2}=4R^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}-a_{1}^{2}-b_{1}^{2}-c_{1}
(см. задачу 7150). Значит,
4R^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}-a_{1}^{2}-b_{1}^{2}-c_{1}^{2}\geqslant0.
Следовательно,
a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\leqslant4R^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}.