7164. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой c
и острым углом 30^{\circ}
. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{c^{3}\sqrt{3}}{48}
.
Указание. Докажите, что высота данной пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности, т. е. через середину гипотенузы треугольника основания (или примените формулу из задачи 9968).
Решение. Первый способ. Пусть DH
— высота треугольной пирамиды ABCD
, ABC
— прямоугольный треугольник, в котором \angle C=90^{\circ}
, AB=c
, \angle A=30^{\circ}
.
Поскольку DH
— перпендикуляр к плоскости ABC
, отрезки AH
, BH
и CH
— проекции наклонных AD
, BD
и CD
на плоскость ABC
. По условию
\angle DAH=\angle DBH=\angle DCH=45^{\circ}.
Прямоугольные треугольники DAH
, DBH
и DCH
равны по катету и острому углу, поэтому AH=BH=CH
и H
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, а так как этот треугольник прямоугольный, то H
— середина гипотенузы AB
. Далее находим:
DH=AH\tg\angle DAH=\frac{1}{2}c\tg45^{\circ}=\frac{c}{2},~BC=AB\sin30^{\circ}=\frac{c}{2},
AC=AB\cos30^{\circ}=\frac{c\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABCD}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AC\cdot DH=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{c}{2}\cdot\frac{c\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{c}{2}=\frac{c^{3}\sqrt{3}}{48}.
Второй способ. Поскольку боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, можно применить формулу из задачи 9969: V=\frac{1}{12}abc\tg\alpha
, где V
— объём треугольной пирамиды, a
, b
и c
— стороны основания, \alpha
— угол, который боковые рёбра образуют с плоскостью основания. В нашем случае
V=\frac{1}{12}c\cdot\frac{c}{2}\cdot\frac{c\sqrt{3}}{2}\cdot\tg45^{\circ}=\frac{c^{3}\sqrt{3}}{48}.