9969. Основание пирамиды — треугольник со сторонами a
, b
и c
, боковые рёбра образуют равные углы \alpha
с плоскостью основания. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{1}{12}abc\tg\alpha
.
Решение. Поскольку боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (см. задачу 7163). Пусть высота пирамиды равна h
, радиус окружности, описанной около основания равен R
, площадь основания равна S
, а объём пирамиды равен V
. Тогда (см. задачу 4259)
R=\frac{abc}{4S}~\Rightarrow~V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}S\cdot R\tg\alpha=\frac{1}{3}\cdot S\cdot\frac{abc}{4S}\cdot\tg\alpha=\frac{1}{12}abc\tg\alpha.