7212. Докажите, что диагональ AC_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проходит через точки пересечения медиан треугольников A_{1}BD
и CB_{1}D_{1}
и делится ими на три равные части.
Решение. Первый способ. Пусть O
и O_{1}
— точки пересечения диагоналей оснований ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, P
— точка пересечения отрезков AC_{1}
и A_{1}O
(лежащих в плоскости AA_{1}C_{1}C
), Q
— отрезков AC_{1}
и CO_{1}
. Тогда A_{1}O
— медиана треугольника A_{1}BD
, CO_{1}
— медиана треугольника CB_{1}D_{1}
.
Из подобия треугольников AOP
и C_{1}A_{1}P
следует, что
\frac{OP}{A_{1}P}=\frac{AO}{C_{1}A_{1}}=\frac{AO}{AC}=\frac{1}{2}.
Следовательно, P
— точка пересечения медиан треугольника A_{1}BD
. Кроме того, \frac{AP}{PC_{1}}=\frac{AO}{C_{1}A_{1}}=\frac{1}{2}
, т. е. AP=\frac{1}{3}AC_{1}
.
Аналогично докажем, что Q
— точка пересечения медиан треугольника CB_{1}D_{1}
и C_{1}Q=\frac{1}{3}AC_{1}
. Следовательно,
AP=C_{1}Q=PQ=\frac{1}{3}AC_{1},
что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим решение с помощью векторов. Воспользуемся следующим известным фактом. Если M
— точка пересечения медиан треугольника XYZ
, а T
— произвольная точка пространства, то
\overrightarrow{TM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{TX}+\overrightarrow{TY}+\overrightarrow{TZ})
(см. задачу 4505).
Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника BDA_{1}
. Тогда
\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC_{1}}.
Поэтому векторы \overrightarrow{AM}
и \overrightarrow{AC_{1}}
коллинеарны. Следовательно, точка M
лежит на прямой AC_{1}
и AP=\frac{1}{3}AC_{1}
. Аналогично для треугольника CB_{1}D_{1}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 393, с. 60
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — пример 1, с. 6