7217. Сторона основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD
параллельно прямой AS
.
Ответ. \frac{ab\sqrt{2}}{4}
.
Указание. Секущая плоскость пересекается с плоскостью ASC
по прямой, проходящей через центр квадрата ABCD
параллельно боковому ребру AS
. В сечении получится равнобедренный треугольник.
Решение. Плоскость треугольника ASC
имеет с секущей плоскостью общую точку O
(точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
) и проходит через прямую AS
, параллельную секущей плоскости. Поэтому она пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной AS
и проходящей через точку O
(см. задачу 8003).
Пусть эта прямая пересекает ребро SC
в точке M
. Поскольку O
— середина AC
, OM
— средняя линия треугольника ASC
, OM=\frac{1}{2}AS=\frac{1}{2}b
. Искомое сечение — равнобедренный треугольник BMD
(равенство BM=DM
следует из равенства треугольников BMC
и DMC
).
Поскольку MO
высота треугольника BMD
,
S_{\triangle BMD}=\frac{1}{2}BD\cdot OM=\frac{1}{4}a\sqrt{2}\cdot b=\frac{ab\sqrt{2}}{4}.
