7230. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Через точки A
, B
и середину ребра SC
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?
Ответ. 3:5
.
Указание. Рассмотрите равновеликие треугольные пирамиды SABD
и SCBD
(или см.задачу 14318).
Решение. Решим эту задачу для произвольной четырёхугольной пирамиды SABCD
, основание которой — параллелограмм ABCD
.
Пусть M
— середина ребра SC
. Секущая плоскость и плоскость грани DSC
проходят через параллельные прямые AB
и CD
соответственно и имеют общую точку M
. Поэтому они пересекаются по прямой, проходящей через точку M
параллельно AB
и CD
(см. задачу 8004). Если N
— точка пересечения этой прямой с боковым ребром SD
, то MN
— средняя линия треугольника DSC
. Следовательно, искомое сечение — трапеция ABMN
, в которой основание MN
вдвое меньше основания AB
(MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD)
.
Первый способ. Обозначим через V
объём данной пирамиды SABCD
. Тогда объём каждой из двух треугольных пирамид SABD
и SCBD
равен \frac{1}{2}V
(эти пирамиды имеют равные основания ABD
и CDB
и общую высоту, проведённую из их общей вершины S
).
Треугольные пирамиды NABD
и SABD
имеют общее основание ABD
, а высота пирамиды NABD
, проведённая из вершины N
, вдвое меньше высоты пирамиды SABD
, проведённой из вершины S
, так как N
— середина ребра SD
. Поэтому
V_{NABD}=\frac{1}{2}V_{SABD}=\frac{1}{4}V.
Следовательно, объём треугольной пирамиды SANB
также равен \frac{1}{4}V
.
Площадь основания SMB
треугольной пирамиды NSMB
вдвое меньше площади основания SBC
треугольной пирамиды DSBC
(так как BM
— медиана треугольника SBC
), а высота пирамиды NSMB
, проведённая из вершины N
, вдвое меньше высоты пирамиды DSBC
, проведённой из вершины D
. Поэтому объём пирамиды NSMB
в четыре раза меньше объёма пирамиды DSBC
, т. е.
V_{NSMB}=\frac{1}{4}V_{DSBC}=\frac{1}{8}V.
Объём четырёхугольной пирамиды SABMN
, отсекаемой секущей плоскостью от данной пирамиды SABCD
, равен сумме объёмов треугольных пирамид SANB
и NSMB
, т. е.
V_{SABMN}=\frac{1}{4}V+\frac{1}{8}V=\frac{3}{8}V.
Следовательно, секущая плоскость делит объём пирамиды SABCD
в отношении \frac{3}{5}
.
Второй способ. Секущая плоскость разбивает данную пирамиду на многогранник ANDBMC
(клин) с объёмом V_{1}
и четырёхугольную пирамиду SABMN
. Пусть SH=h
— высота пирамиды SABCD
. Тогда расстояние между параллельными рёбрами AB
и MN
многогранника ANDBMC
, т. е. высота его перпендикулярного сечения, равна \frac{h}{2}
, а площадь перпендикулярного сечения —
S'=\frac{1}{2}d\cdot\frac{h}{2}=\frac{dh}{4},
где d
— расстояние между прямыми AB
и CD
. Значит (см. задачу 14318),
V_{1}=\frac{1}{3}S'(AB+CD+MN)=\frac{1}{3}\cdot\frac{dh}{4}\cdot\left((2AB+\frac{1}{2}AB\right)=\frac{1}{3}AB\cdot dh\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{8}V.
Следовательно,
\frac{V-V_{1}}{V}=\frac{1-\frac{5}{8}}{\frac{5}{8}}=\frac{3}{5}.