7241. Объём пирамиды ABCD
равен 5. Через середины рёбер AD
и BC
проведена плоскость, пересекающая ребро CD
в точке M
. При этом DM:MC=2:3.
Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от неё до вершины A
равно 1.
Ответ. 3.
Указание. Плоскость, проходящая через середины противоположных рёбер тетраэдра, делит его объём пополам (см. задачу 7235).
Решение. Поскольку секущая плоскость проходит через середины противоположных рёбер тетраэдра, она делит его объём пополам (см. задачу 7235). Пусть секущая плоскость пересекает ребро AB
в точке K
, а P
и Q
— середины рёбер AD
и BC
. Тогда объём многогранника PMQKAC
равен \frac{5}{2}
. С другой стороны, он равен сумме объёмов четырёхугольной пирамиды APMKQ
и треугольной пирамиды AMCQ
с общей вершиной A
, а так как
V_{AMCQ}=\frac{CM}{CD}\cdot\frac{CQ}{CB}V_{ABCD}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}V_{ABCD}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot5=\frac{3}{2},
то
V_{APMQK}=V_{PMQKAC}-V_{AMCQ}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1.
С другой стороны, если h
— расстояние от вершины A
до секущей плоскости, то
V_{APMQK}=\frac{1}{3}S_{PMQK}\cdot h,
поэтому \frac{1}{3}S_{PMQK}\cdot h=1
, откуда находим, что
S_{PMQK}=\frac{3}{h}=3.