7250. Пусть \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \alpha_{3}
, \alpha_{4}
, \alpha_{5}
, \alpha_{6}
— величины двугранных углов тетраэдра. Докажите, что
\cos\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}+\cos\alpha_{3}+\cos\alpha_{4}+\cos\alpha_{5}+\cos\alpha_{6}\leqslant2.
Указание. См. задачи 4157 и 4158.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса r
, вписанной в тетраэдр ABCD
; OA'
, OB'
, OC'
, OD'
— радиусы сферы, проведённые в точки касания с гранями тетраэдра. Тогда двугранный угол между гранями дополняет до 180^{\circ}
угол между соответствующими радиусами, а так как
(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OD'})^{2}\geqslant0,
то
4r^{2}-2r^{2}\cos\alpha_{1}-2r^{2}\cos\alpha_{2}-2r^{2}\cos\alpha_{3}-2r^{2}\cos\alpha_{4}-2r^{2}\cos\alpha_{5}-2r^{2}\cos\alpha_{6}\geqslant0.
Отсюда получаем, что
\cos\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}+\cos\alpha_{3}+\cos\alpha_{4}+\cos\alpha_{5}+\cos\alpha_{6}\leqslant2.
Примечание. Доказанное неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда тетраэдр равногранный.