7253. Дан тетраэдр ABCD
. Все плоские углы при вершине D
— прямые; DA=1
, DB=2
, DC=3
. Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины D
.
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{3}
.
Указание. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{DM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}).
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 4505)
\overrightarrow{DM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}).
поэтому
\overrightarrow{DM}^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})^{2}=
=\frac{1}{9}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}+2\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}+2\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC})=
=\frac{1}{9}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}+0+0+0)=\frac{1}{9}(1+4+9)=\frac{14}{9}.
Следовательно, DM=\frac{\sqrt{14}}{3}
.