7256. В тетраэдре ABCD
известно, что AB=3
, BC=4
, AC=5
, AD=DB=2
, DC=4
. Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины D
.
Ответ. \frac{\sqrt{22}}{3}
.
Указание. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{DM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})
(см. задачу 4505).
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{DM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})
(см. задачу 4505) поэтому
\overrightarrow{DM}^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})^{2}=
=\frac{1}{9}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}+2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}+2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}+2\cdot\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}).
Из равенства \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}
следует, что
AB^{2}=DB^{2}-2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}+DA^{2},
откуда находим, что
2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=DB^{2}+DA^{2}-AB^{2}=4+4-9=-1.
Аналогично,
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB},~BC^{2}=DC^{2}-2\cdot\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}+DB^{2},
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC},AC^{2}=DA^{2}-2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}+DC^{2},
откуда
2\cdot\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=DC^{2}+DB^{2}-BC^{2}=16+4-16=4,
2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=DA^{2}+DC^{2}-AC^{2}=4+16-25=-5.
Следовательно,
\overrightarrow{DM}^{2}=\frac{1}{9}(DA^{2}+DB^{2}+DC^{2}+2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}+2\cdot\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}+2\cdot\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC})=
=\frac{1}{9}(4+4+16-1+4-5)=\frac{1}{9}\cdot22=\frac{22}{9},~DM=\frac{\sqrt{22}}{3}.