7272. Докажите, что сумма квадратов всех рёбер тетраэдра равна учетверённой сумме квадратов расстояний между серединами его противоположных рёбер.
Указание. Достройте тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Диагонали каждой грани построенного параллелепипеда равны противоположным рёбрам тетраэдра. Пусть a
и b
, c
и d
, e
и f
— противоположные рёбра тетраэдра, а x
, y
и z
— соответственно расстояния между их серединами. Тогда рёбра параллелепипеда, исходящие из одной вершины равны x
, y
и z
. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
a^{2}+b^{2}=2y^{2}+2z^{2},~c^{2}+d^{2}=2x^{2}+2z^{2},~e^{2}+f^{2}=2x^{2}+2y^{2}.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}=4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}.
Что и требовалось доказать.