7278. Отрезок
AB
(
AB=1
), являющийся хордой сферы радиуса 1, расположен под углом
60^{\circ}
к диаметру
CD
этой сферы. Расстояние от конца
C
диаметра до ближайшего к нему конца
A
хорды
AB
равно
\sqrt{2}
. Найдите
BD
.
Ответ. 1.
Указание. Достройте тетраэдр
ABCD
до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через противоположные рёбра тетраэдра пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим тетраэдр
ABCD
до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Пусть
O
и
Q
— центры граней
NDMC
и
AKBL
соответственно. Тогда
O
— центр сферы,
KL=CD=2
,
OQ\perp AB
,
OA=OB=1
как радиусы сферы,
KL\parallel CD
,
QB=QA=\frac{1}{2}
,
QL=QK=1
.
Пусть
\angle BQL=60^{\circ}
. Тогда по теореме косинусов
BL=\sqrt{QB^{2}+QL^{2}-2QB\cdot QL\cos60^{\circ}}=\sqrt{\frac{1}{4}+1-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{3},

поэтому треугольник
BQL
— прямоугольный,
\angle QBL=90^{\circ}
. Значит,
AB\perp BL
, а так как
BM\parallel OQ
и
OQ\perp AB
, то
AB\perp BM
, следовательно, прямая
AB
перпендикулярна плоскости грани
BMCL
. Тогда
AB\perp BC
, значит, в прямоугольном треугольнике
ABC
гипотенуза
AC
больше катета
BC
. Но по условию
AC\lt BC
, поэтому
\angle BQL=120^{\circ}
.
В этом случае
\angle BQK=60^{\circ}
. Тогда
BK=\sqrt{QB^{2}+QK^{2}-2QB\cdot QK\cos60^{\circ}}=\sqrt{\frac{1}{4}+1-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{3},

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AQO
находим, что
OQ^{2}=OA^{2}-QA^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},

значит,
AN=CL=OQ=\frac{1}{2}\sqrt{3}
. В параллелограмме
ALCN

NL^{2}+AC^{2}=2AN^{2}+2AL^{2}

(см. задачу 4011), поэтому
BD^{2}=NL^{2}=2AN^{2}+2AL^{2}-AC^{2}=

=2AN^{2}+2BK^{2}-AC^{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2=1.

Следовательно,
BD=1
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1970 вариант 1, № 5
Источник: Моденов П. С. Пособие по математике. — Ч. II. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — с. 256, № 99
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 4.19, с. 64
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 88, с. 14