7281. Докажите, что все грани тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда его бимедианы попарно перпендикулярны.
Указание. Рассмотрите описанный параллелепипед данного тетраэдра.
Решение. Первый способ. Пусть P
, Q
, R
и S
— середины рёбер соответственно AD
, CD
, BC
и AB
тетраэдра ABCD
.
Достаточность. Пусть бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны. Отрезки PQ
и SR
— средние линии треугольников ADC
и ABC
, значит,
PQ=\frac{1}{2}AC=SR,~PQ\parallel AC\parallel SR.
Четырёхугольник PQRS
— параллелограмм, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны. Диагонали PR
и QS
этого параллелограмма перпендикулярны, значит, это ромб. Тогда
AC=2PQ=2QR=BD.
Аналогично AD=BC
и AB=CD
. Следовательно, тетраэдр равногранный (см. задачу 7266).
Необходимость. Противоположные рёбра равногранного тетраэдра попарно равны, значит, параллелограмм PQRS
— ромб. Следовательно, его диагонали PR
и QS
перпендикулярны. Аналогично для любых двух бимедиан.
Второй способ. Рассмотрим описанный параллелепипеда AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
) тетраэдра ABCD
.
Достаточность. Пусть отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер AB
и CD
, AC
и BD
, AD
и BC
, попарно перпендикулярны. Тогда параллелепипед AKBLNDMC
— прямоугольный. Диагонали AB
и KL
прямоугольника AKBL
равны, значит, AB=KL=CD
. Аналогично докажем, что AC=BD
и AD=BC
. Следовательно, все грани тетраэдра ABCD
— равные треугольники (по трём сторонам).
Необходимость. Пусть AB=CD
, AC=BD
и AD=BC
. Тогда все грани параллелепипеда AKBLNDMC
— прямоугольники, поэтому параллелепипед AKBLNDMC
— прямоугольный. Отрезки, соединяющие центры его противоположных граней (т. е. бимедианы тетраэдра), параллельны соответствующим рёбрам параллелепипеда. Следовательно, эти отрезки попарно перпендикулярны.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.