7284. Дана треугольная пирамида
ABCD
. Скрещивающиеся рёбра
AC
и
BD
этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся рёбра
AD
и
BC
, а
AB=CD
. Все рёбра этой пирамиды касаются шара радиуса
r
. Найдите площадь грани
ABC
.
Ответ.
2r^{2}\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что
AB\perp CD
и
AB+CD=AD+BC=AC+BD
. Затем, достроив тетраэдр до параллелепипеда, докажите, что
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.

Выведите из этих утверждений, что данная треугольная пирамида
ABCD
— правильный тетраэдр.
Решение. Докажем, что противоположные рёбра
AB
и
CD
тетраэдра
ABCD
(рис. 1) также перпендикулярны. Достроим данный тетраэдр
ABCD
до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как
AC\perp BD
и
LN\parallel BD
, то
LN\perp AC
, поэтому параллелограмм
ALCN
— ромб. Тогда равный ему параллелограмм
KBMD
— тоже ромб. Аналогично, грани
AKDN
и
LBMC
— ромбы. Значит,
AK=AN=AL
, поэтому оставшиеся грани
AKBL
и
NDMC
— тоже ромбы. Следовательно,
AB\perp CD
.
Таким образом, все рёбра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через
x
. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
AB^{2}+CD^{2}=4x^{2},~AC^{2}+BD^{2}=4x^{2},~AD^{2}+BC^{2}=4x^{2}.

Следовательно,
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.

Обозначим
AB=CD=a
. Пусть сфера радиуса
r
касается рёбер
AB
,
CD
,
AD
и
BC
тетраэдра
ABCD
в точках
E
,
F
,
G
и
H
соответственно (рис. 2). Тогда
AB+CD=(AE+BE)+(CF+DF)=(AG+BH)+(CH+DG)=

=(AG+DG)+(CH+BH)=AD+BC.

Аналогично,
AC+BD=AB+CD
, а так как
AB^{2}+CD^{2}=2a^{2}~\mbox{и}~AB+CD=2a,

то
AC^{2}+BD^{2}=2a^{2}~\mbox{и}~AC+BD=2a.

Возведём обе части второго равенства в квадрат и сложим полученное равенство с первым. Имеем систему уравнений
\syst{AC+BD=2a\\AC\cdot BD=a^{2},\\}

из которой находим, что
AC=BD=a
. Аналогично,
AD=BC=a
. Значит,
ABCD
— правильный тетраэдр с ребром
a
, а параллелепипед
AKBLNDMC
— куб, диагональ грани которого равна
a
, а ребро
\frac{a}{\sqrt{2}}
.
Данная сфера вписана в этот куб, поэтому ребро куба равно диаметру сферы, т. е.
2r
. Значит,
a=2r\sqrt{2}
, а площадь каждой грани тетраэдра равна
\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{3}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{3}=\frac{1}{4}\cdot8r^{2}\sqrt{3}=2r^{2}\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1975, вариант 1, № 5
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 249