7298. Диагональ OD
прямоугольного параллелепипеда образует с рёбрами OA
, OB
, OC
углы \alpha
, \beta
, \gamma
. Найдите \gamma
, если \alpha=45^{\circ}
и \beta=60^{\circ}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. См. задачу 7260.
Решение. Первый способ. Обозначим OA=a
, OB=b
. Из прямоугольных треугольников OAD
и OBD
находим, что
OD=\frac{OA}{\cos\alpha}=\frac{OA}{\cos45^{\circ}}=a\sqrt{2},
OD=\frac{OB}{\cos\beta}=\frac{b}{\cos60^{\circ}}=2b.
Значит, b=\frac{1}{2}OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}
.
По теореме Пифагора
CD=BD=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}},
OC=\sqrt{OD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2a^{2}-\frac{3}{2}a^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Значит,
\cos\gamma=\cos\angle=\frac{OC}{OD}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \gamma=60^{\circ}
.
Второй способ. Из равенства \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1
(см. задачу 7260) находим, что
\cos\gamma=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta}=\sqrt{1-\cos^{2}45^{\circ}-\cos^{2}60^{\circ}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \gamma=60^{\circ}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 81, с. 16