7299. В куб с ребром a
вписан шар. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки шаровой поверхности до вершин куба постоянна. Найдите эту сумму.
Ответ. 8a^{2}
.
Указание. Примените метод координат и воспользуйтесь результатом задачи 2169.
Решение. Введём прямоугольную систему координат с началом в центре O
сферы, вписанной в куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, и осями координат Ox
, Oy
, Oz
, сонаправленными с лучами DA
, AB
, AA_{1}
соответственно. Уравнение сферы имеет вид x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{a^{2}}{4}
.
Пусть M(x;y;z)
— произвольная точка сферы. Тогда MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}
(см. задачу 2169). Аналогично
MA_{1}^{2}+MC_{1}^{2}=MB_{1}^{2}+MD_{1}^{2},~MA^{2}+MC_{1}^{2}=MC^{2}+MA_{1}^{2}.
Значит,
MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}+MA_{1}^{2}+MB_{1}^{2}+MC_{1}^{2}+MD_{1}^{2}=
=2(MA^{2}+MC^{2})+2(MA_{1}^{2}+MC_{1}^{2})=
=2(MA^{2}+MC_{1}^{2})+2(MC^{2}+MA_{1}^{2})=4(MA^{2}+MC^{2})=
=4\left(\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(z-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(z+\frac{a}{2}\right)^{2}\right)=
=8(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4\cdot6\cdot\frac{a^{2}}{4}=8\cdot\frac{a^{2}}{4}+6a^{2}=2a^{2}+6a^{2}=8a^{2}.
Что и требовалось доказать.