7313. В основании пирамиды объёма V
лежит трапеция с основаниями m
и n
. Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма U
, а в сечении получается снова трапеция с основаниями m_{1}
и n_{1}
. Докажите, что \frac{U}{V}=\frac{(m_{1}+n_{1})m_{1}n_{1}}{(m+n)mn}
.
Решение. Пусть S
— вершина пирамиды SABCD
, основание которой — трапеция ABCD
с основаниями AD=m
и BC=n
, а секущая плоскость пересекает боковые рёбра SA
, SB
, SC
и SD
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
соответственно.
Если прямые AB
и CD
пересекаются в точке T
, то плоскости боковых граней ABS
и CDS
пересекаются по прямой ST
, значит, прямые A_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
пересекаются в точке, лежащей на прямой ST
. Следовательно, в трапеции A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
стороны A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
— основания, A_{1}D_{1}=m_{1}
и B_{1}C_{1}=n_{1}
.
Пусть l
— прямая пересечения плоскостей граней ASD
и BSC
. Тогда AD\parallel l
и A_{1}D_{1}\parallel l
, значит, A_{1}D_{1}\parallel AD
и B_{1}C_{1}\parallel BC
.
Пусть высоты пирамид SABCD
и SA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно равны h
и h_{1}
, а плоскость, проведённая через вершину S
перпендикулярно прямой AD
, пересекает прямые AD
, BC
, A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках E
, F
, E_{1}
и F_{1}
соответственно. Тогда EF
и E_{1}F_{1}
— высоты трапеций ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, поэтому
\frac{U}{V}=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(m_{1}+n_{1})E_{1}F_{1}\cdot h_{1}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(m+n)EF\cdot h}=\frac{(m_{1}+n_{1})E_{1}F_{1}\cdot h_{1}}{(m+n)EF\cdot h}.
Осталось доказать, что \frac{E_{1}F_{1}\cdot h_{1}}{EF\cdot h}=\frac{m_{1}n_{1}}{mn}
.
Заметим, что высоты треугольников ESF
и E_{1}SF_{1}
соответственно равны h
и h_{1}
, поэтому \frac{S_{\triangle E_{1}SF_{1}}}{S_{\triangle ESF}}=\frac{E_{1}F_{1}\cdot h_{1}}{EF\cdot h}
. С другой стороны (см. задачу 3007),
\frac{S_{\triangle E_{1}SF_{1}}}{S_{\triangle ESF}}=\frac{SE_{1}}{SE}\cdot\frac{SF_{1}}{SF}=\frac{A_{1}D_{1}}{AD}\cdot\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{m_{1}}{m}\cdot\frac{n_{1}}{n}=\frac{m_{1}n_{1}}{mn},
следовательно, \frac{E_{1}F_{1}\cdot h_{1}}{EF\cdot h}=\frac{m_{1}n_{1}}{mn}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1961, 9-10 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 61.24