7333. На ребре AS
треугольной пирамиды SABC
отмечены такие точки M
и N
, что AM=MN=NS
. Найдите площадь треугольника NBC
, если площади треугольников ABC
, MBC
и SBC
равны 1, 2 и \sqrt{37}
соответственно.
Ответ. 4.
Решение. Пусть h_{a}
, h_{m}
, h_{n}
и h_{s}
— высоты треугольников ABC
, MBC
, NBC
и SBC
, опущенные на общее основание BC
, A'
, B'
, C'
, M'
, N'
и S'
— ортогональные проекции точек соответственно A
, B
, C
, M
, N
и S
на плоскость, перпендикулярную прямой BC
(точки B'
и C'
совпадают). Обозначим A'M'=M'N'=N'S'=a
. Прямые, содержащие высоты треугольников ABC
, MBC
, NBC
и SBC
, опущенные на общее основание BC
, параллельны плоскости проекций, поэтому
A'B'=h_{a},~M'B'=h_{m},~N'B'=h_{n},~S'B'=h_{s}.
Отрезки M'B'
и N'B'
— медианы треугольников A'B'N'
и M'B'S'
. По формуле для квадрата медианы (см. задачу 4014)
4h_{m}^{2}=2h_{a}^{2}+2h_{n}^{2}-4a^{2},~4h_{n}^{2}=2h_{m}^{2}+2h_{s}^{2}-4a^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~4a^{2}=2h_{a}^{2}+2h_{n}^{2}-4h_{m}^{2},~4a^{2}=2h_{m}^{2}+2h_{s}^{2}-4h_{n}^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~2h_{a}^{2}+2h_{n}^{2}-4h_{m}^{2}=2h_{m}^{2}+2h_{s}^{2}-4h_{n}^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~3h_{n}^{2}=3h_{m}^{2}+h_{s}^{2}-h_{a}^{2}~\Rightarrow~h_{n}=\sqrt{h_{m}^{2}+\frac{h_{s}^{2}-h_{a}^{2}}{3}}.
Отрезок BC
— общая сторона треугольников ABC
, MBC
, NBC
и SBC
, значит, отношение площадей этих треугольников, равно отношению высот, опущенных на BC
. Поэтому
\frac{S_{a}}{h_{a}}=\frac{S_{m}}{h_{m}}=\frac{S_{n}}{h_{n}}=\frac{S_{s}}{h_{s}}=k,
где k=\frac{1}{2}BC
— коэффициент пропорциональности. Следовательно,
S_{n}=kh_{n}=\sqrt{(kh_{m})^{2}+\frac{(kh_{s})^{2}-(kh_{a})^{2}}{3}}=\sqrt{S_{m}^{2}+\frac{S_{s}^{2}-S_{a}^{2}}{3}}=\sqrt{4+\frac{37-1}{3}}=4.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2010, вариант 1, № 8
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А., Горяшин Д. В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2011). — М.: МЦНМО, 2011. — с. 58
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 23