7335. Сумма длин противоположных рёбер тетраэдра одна и та же для любой пары противоположных рёбер. Докажите, что вписанные окружности любых двух граней тетраэдра касаются общего ребра этих граней в одной точке.
Решение. Пусть ABCD
— тетраэдр с рёбрами AB=a
, CD=b
, BC=c
, AD=d
, AC=e
, BD=f
, причём a+b=c+d=e+f
.
Предположим, что окружности, вписанные в грани ABD
и BCD
, касаются ребра BD
в точках M
и N
соответственно, а p_{1}
и p_{2}
— полупериметры этих треугольников. Тогда
DM=p_{1}-AB=\frac{a+d+f}{2}-a=\frac{d+f-a}{2},~DN=p_{2}-BC=\frac{b+c+f}{2}-c=\frac{b+f-c}{2}
(см. задачу 219). а так как a+b=c+d
, то d-a=b-c
, поэтому DN=DM
. Следовательно, точки M
и N
совпадают. Аналогично для остальных пар окружностей.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.