7337. Сумма длин противоположных рёбер тетраэдра одна и та же для любой пары противоположных рёбер. Докажите, что этот тетраэдр каркасный, т. е. существует сфера, касающаяся всех его рёбер.
Решение. Пусть в тетраэдре ABCD
известно, что AB+CD=AC+BD=AD+BC
. Тогда окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются (см. задачу 7335).
Докажем, что перпендикуляры, восставленные к граням ABD
и BCD
в центрах соответственно O_{1}
и O_{2}
их вписанных окружностей, пересекаются.
Радиусы O_{1}M
и O_{2}M
этих окружностей перпендикулярны прямой BD
, поэтому прямая BD
перпендикулярна плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые O_{1}M
и O_{2}M
, а так как перпендикуляры h_{1}
и h_{2}
к этим плоскостям, проходящие через точки O_{1}
и O_{2}
, лежат в плоскости O_{1}MO_{2}
, то они пересекаются в некоторой точке O
.
Аналогично докажем, что пересекаются перпендикуляры, восставленные к любым двум граням тетраэдра ABCD
в центрах вписанных окружностей.
Известно, что если n
прямых в пространстве попарно пересекаются, то либо они лежат в одной плоскости, либо проходят через одну точку. В нашем случае указанные перпендикуляры к граням не могут лежать в одной плоскости, следовательно, они пересекаются в точке O
.
Осталось доказать, что O
— центр сферы, касающейся всех рёбер тетраэдра, или что расстояния от точки O
до всех рёбер равны.
Пусть окружность с центром O_{1}
, вписанная в грань ABD
касается ребра AD
в точке K
. Прямоугольные треугольники DMO
и DKO
равны по общей гипотенузе OD
и катету (DM=DK
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), значит, OM=OK
, т. е. точка O
равноудалена от рёбер AD
и BD
. Аналогично для любой другой пары рёбер.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.