7340. Докажите, в ортоцентрическом тетраэдре все плоские углы, прилегающие к одной вершине, или одновременно острые, или тупые, или прямые.
Решение. Пусть ABCD
— данного ортоцентрический тетраэдр. Суммы квадратов его противолежащих рёбер равны (см. задачу 7273).
По теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot BC},~\cos\angle BAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB\cdot AD},
а так как BC^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}
, то AC^{2}-BC^{2}=AD^{2}-BD^{2}
, значит, \cos\angle BAC
и \cos\angle BAD
либо оба равны 0 (тогда оба угла прямые), либо имеют одинаковые знаки (тогда либо оба угла острые, либо оба тупые). Аналогично для косинусов остальных углов.