7348. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA_{1}
и CF_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Прямая AA_{1}
параллельна плоскости CC_{1}F_{1}F
, содержащей прямую CF_{1}
, так как AA_{1}\parallel FF_{1}
. Значит, расстояние между прямыми AA_{1}
и CF_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой AA_{1}
(в частности, от точки A
) до плоскости CC_{1}F_{1}F
(см. задачу 7889).
Заметим, что диагональ AE
правильного шестиугольника ABCDEF
перпендикулярна диагонали CF
и делится ею пополам. Кроме того, прямая FF_{1}
перпендикулярна плоскости ABCDEF
, поэтому AE\perp FF_{1}
. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая AE
перпендикулярна плоскости CC_{1}F_{1}F
.
Пусть H
— точка пересечения AE
и CF
. Тогда расстояние между прямыми AA_{1}
и CF_{1}
равно длине отрезка AH
. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Из равностороннего треугольника AOF
находим, что
AH=\frac{AF\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 6.3, с. 10
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(в), с. 55