7370. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB_{1}
и CD_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Прямая BB_{1}
параллельна плоскости CC_{1}D_{1}D
, содержащей прямую CD_{1}
, так как BB_{1}\parallel CC_{1}
. Значит, расстояние между прямыми BB_{1}
и CD_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой BB_{1}
(в частности, от точки B
) до плоскости CC_{1}D_{1}D
(см. задачу 7889).
Пусть O
— центр основания ABCDEF
. Тогда прямая OB\parallel CD
, значит, прямая OB
параллельна плоскости CC_{1}D_{1}D
, поэтому расстояние от точки B
до плоскости CC_{1}D_{1}D
равно расстоянию до этой плоскости от точки O
.
Опустим перпендикуляр OM
из точки O
на прямую CD
. Тогда M
— середина CD
. Прямая OM
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD
и CC_{1}
плоскости CC_{1}D_{1}D
, поэтому OM
— перпендикуляр к этой плоскости.
Таким образом, расстояние между прямыми BB_{1}
и CD_{1}
равно длине отрезка OM
. Из равностороннего треугольника COD
находим, что OM=\frac{CD\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 17, с. 48