7380. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AB
и CB_{1}
.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{7}}
.
Решение. Поскольку AB\parallel A_{1}B_{1}
, прямая AB
параллельна плоскости CA_{1}B_{1}
, поэтому расстояние между прямыми AB
и CB_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой AB
, например, от середины M
ребра AB
, до плоскости CA_{1}B_{1}
(см. задачу 7889).
Опустим перпендикуляр MH
из точки M
на медиану CM_{1}
равнобедренного треугольника CA_{1}B_{1}
. Прямая A_{1}B_{1}
перпендикулярна плоскости CMM_{1}
, содержащей прямую MH
, так как A_{1}B_{1}\perp MM_{1}
и A_{1}B_{1}\perp CM_{1}
. Прямая MH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CM_{1}
и A_{1}B_{1}
плоскости CA_{1}B_{1}
, значит, MH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние между прямыми AB
и CB_{1}
равно длине отрезка MH
.
В прямоугольном треугольнике CMM_{1}
известно, что
CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},~MM_{1}=1,~CM_{1}=\sqrt{CM^{2}+MM_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}+1}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Записав двумя способами площадь этого треугольника, получим равенство \frac{1}{2}CM_{1}\cdot MH=\frac{1}{2}CM\cdot MM_{1}
, откуда находим, что
MH=\frac{CM\cdot MM_{1}}{CM_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{7}}.