7404. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 10, 13, 13. Площади боковых граней соответственно равны 150, 195, 195. Найдите высоту пирамиды.
Ответ. \frac{40\sqrt{5}}{3}
; 6\sqrt{21}
; 6\sqrt{21}
; \frac{15\sqrt{15}}{2}
.
Указание. Если высоты боковых граней треугольной пирамиды, проведённые из вершины, равны, то высота пирамиды проходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания.
Решение. Пусть ABCD
— треугольная пирамида с вершиной D
, причём
AB=AC=13,~BC=10,~S_{\triangle ADB}=S_{\triangle ADC}=195,~S_{\triangle BDC}=150.
Если DK
, DL
и DM
— высоты треугольников ADB
, ADC
и BDC
соответственно, то
DL=DK=\frac{2S_{\triangle ADB}}{AB}=\frac{2\cdot195}{13}=30,
DM=\frac{2S_{\triangle BDC}}{BC}=\frac{2\cdot150}{10}=30.
Пусть O
— основание высоты пирамиды ABCD
, проведённой из вершины D
. По теореме о трёх перпендикулярах OK\perp AB
, OL\perp AC
и OM\perp BC
. Из равенства наклонных DK
, DL
и DM
следует равенство их ортогональных проекций OK
, OL
и OM
. Значит, точка O
равноудалена от прямых AB
, AC
и BC
. Следовательно, O
— либо центр вписанной окружности (рис. 1), либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABC
(рис. 2).
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а r_{c}
, r_{b}
и r_{a}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB
, AC
и BC
соответственно, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=\frac{1}{2}BC\cdot\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12=60,
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3},
r_{c}=r_{b}=\frac{S_{\triangle ABC}}{p-AC}=\frac{60}{5}=12,
r_{a}=\frac{S_{\triangle ABC}}{p-BC}=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}
(см. задачу 392). Из прямоугольного треугольника DMO
находим, что в первом случае
DO=\sqrt{DM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{DM^{2}-r^{2}}=\sqrt{900-\frac{100}{9}}=\frac{40\sqrt{5}}{3},
во втором и третьем —
DO=\sqrt{DM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{DM^{2}-r^{2}}=\sqrt{900-144}=6\sqrt{21},
в четвёртом —
DO=\sqrt{DM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{DM^{2}-r^{2}}=\sqrt{900-\frac{225}{4}}=\frac{15\sqrt{15}}{2}.
Источник: Школьные материалы. —