7426. Ребро правильного тетраэдра ABCD
равно a
, K
— середина ребра CD
. Рассмотрим сферу с диаметром BK
. Найдите радиусы окружностей, по которым эта сфера пересекает плоскости граней ACD
и ABD
.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{12}
, \frac{a\sqrt{21}}{12}
.
Решение. Пусть O
— середина отрезка BK
, т. е. центр данной сферы, R
— её радиус, O_{1}
— проекция точки O
на плоскость грани ACD
. Тогда O_{1}
— центр окружности радиуса R_{1}
, по которой сфера пересекает плоскость грани ACD
. Поскольку O
— середина BK
, расстояние OO_{1}
от центра O
сферы до плоскости грани ACD
вдвое меньше расстояния от точки B
до этой плоскости (см. задачу 9180), т. е. высоты BH
данного правильного тетраэдра. Значит,
OO_{1}=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}.
Из прямоугольных треугольников BKC
и OO_{1}K
находим, что
R=\frac{1}{2}BK=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4},
R_{1}=O_{1}K=\sqrt{OK^{2}-OO_{1}^{2}}=\sqrt{R^{2}-OO_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{12}.
Пусть O_{2}
— проекция точки O
на плоскость грани ABD
. Тогда O_{2}
— центр окружности радиуса R_{2}
, по которой сфера пересекает плоскость этой грани. Поскольку O
— середина BK
, расстояние OO_{2}
от центра O
сферы до плоскости грани ABD
вдвое меньше расстояния от точки K
до этой плоскости, а так как K
— середина CD
, то расстояние от точки K
до этой плоскости вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки C
, т. е. высоты CP
данного правильного тетраэдра. Значит,
OO_{1}=\frac{1}{4}CQ=\frac{a}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}.
Следовательно,
R_{2}=O_{2}B=\sqrt{OB^{2}-OO_{2}^{2}}=\sqrt{R^{2}-OO_{2}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^{2}-\left(\frac{a}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{21}}{12}.