7482. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости DEF_{1}
.
Ответ. 2\sqrt{\frac{3}{7}}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
соответственно, P
— середина ребра DE
.
Поскольку C_{1}F_{1}\parallel DE
, прямая C_{1}F_{1}
лежит в плоскости DEF_{1}
, поэтому сечение призмы этой плоскостью — равнобедренная трапеция C_{1}F_{1}ED
, а PO_{1}
— высота этой трапеции.
Точка O
— середина наклонной AD
к плоскости DEF_{1}
, поэтому расстояние от точки A
до плоскости DEF_{1}
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть Q
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на PO_{1}
. Прямая DE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым PO_{1}
и DE_{1}
плоскости AEF_{1}
, значит, OQ
— перпендикуляр к этой плоскости, а расстояние от точки O
до плоскости DEF_{1}
равно длине отрезка OQ
.
Из прямоугольного треугольника OO_{1}P
находим, что
OQ=\frac{OP\cdot OO_{1}}{PO_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+1}}=\sqrt{\frac{3}{7}}.
Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости DEF_{1}
равно 2\sqrt{\frac{3}{7}}