7494. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние от точки A
до плоскости SDE
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. 2\sqrt{\frac{3}{5}}
.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды. Поскольку O
— середина наклонной AD
к плоскости SDE
, искомое расстояние от точки A
до плоскости SDE
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на медиану SN
равнобедренного треугольника SDE
. Прямая DE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN
и ON
плоскости SON
, содержащей прямую OH
, значит, OH\perp DE
. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DE
и SN
плоскости SDE
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки O
до плоскости SDE
равно длине отрезка OH
.
Отрезок OH
— высота прямоугольного треугольника SON
, проведённая из вершины прямого угла. Из прямоугольных треугольников SOD
и SDN
находим, что
SO=\sqrt{SD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},
SN=\sqrt{SD^{2}-DN^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника SON
, получим равенство \frac{1}{2}SN\cdot OH=\frac{1}{2}ON\cdot SO
, из которого находим, что
OH=\frac{ON\cdot SO}{SN}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.
Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости SDE
равно 2\sqrt{\frac{3}{5}}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 6, с. 36
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(е), с. 35