7494. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние от точки A
до плоскости SDE
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. 2\sqrt{\frac{3}{5}}
.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды. Поскольку O
— середина наклонной AD
к плоскости SDE
, искомое расстояние от точки A
до плоскости SDE
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на медиану SN
равнобедренного треугольника SDE
. Прямая DE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN
и ON
плоскости SON
, содержащей прямую OH
, значит, OH\perp DE
. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DE
и SN
плоскости SDE
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки O
до плоскости SDE
равно длине отрезка OH
.
Отрезок OH
— высота прямоугольного треугольника SON
, проведённая из вершины прямого угла. Из прямоугольных треугольников SOD
и SDN
находим, что
SO=\sqrt{SD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},~
SN=\sqrt{SD^{2}-DN^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника SON
, получим равенство \frac{1}{2}SN\cdot OH=\frac{1}{2}ON\cdot SO
, из которого находим, что
OH=\frac{ON\cdot SO}{SN}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.
Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости SDE
равно 2\sqrt{\frac{3}{5}}
.
