7497. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB_{1}
и CF_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Прямая BB_{1}
параллельна плоскости CC_{1}F_{1}F
, содержащей прямую CF_{1}
, так как BB_{1}\parallel CC_{1}
. Значит, расстояние между прямыми BB_{1}
и CF_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой BB_{1}
(в частности, от точки B
) до плоскости CC_{1}F_{1}F
(см. задачу 7889).
Заметим, что диагональ BD
правильного шестиугольника ABCDEF
перпендикулярна диагонали CF
и делится ею пополам. Кроме того, прямая CC_{1}
перпендикулярна плоскости ABCDEF
, поэтому BD\perp CC_{1}
. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая BD
перпендикулярна плоскости CC_{1}F_{1}F
.
Пусть H
— точка пересечения BD
и CF
. Тогда расстояние между прямыми BB_{1}
и CF_{1}
равно длине отрезка BH
. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Из равностороннего треугольника BOC
находим, что
BH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 18, с. 60