7520. Вершина A
основания ABCD
правильной пирамиды PABCD
совпадает с вершиной конуса, вершины B
, D
лежат на его боковой поверхности, вершина P
— на окружности основания конуса, а вершина C
— в плоскости его основания. Найдите отношение объёма конуса к объёму пирамиды.
Ответ. \frac{9\pi\sqrt{2}}{8}
.
Указание. Прямая пересечения плоскости ABD
с плоскостью основания конуса параллельна BD
и проходит через точку C
.
Решение. Поскольку AB=AD
и точки B
и D
лежат на боковой поверхности конуса, прямая BD
параллельна плоскости основания конуса, поэтому прямая пересечения плоскости ABD
с плоскостью основания конуса параллельна BD
и проходит через точку C
.
Пусть M
и N
— точки пересечения этой прямой с продолжениями AB
и AD
соответственно. Тогда AM
и AN
— образующие конуса, а BD
— средняя линия треугольника AMN
. Обозначим AB=a
. Тогда
PB=PD=AP=AM=AN=2a,~MN=2BD=2a\sqrt{2}.
Так как PB
— медиана треугольника APM
, то по формуле для медианы треугольника
4PB^{2}=2AP^{2}+2PM^{2}-AM^{2}
(см. задачу 4014), откуда
PM^{2}=\frac{1}{2}(4PB^{2}-2AP^{2}+AM^{2})=\frac{1}{2}(16a^{2}-8a^{2}+4a^{2})=6a^{2},
значит, PM=a\sqrt{6}
. Аналогично, PN=a\sqrt{6}
.
Пусть r
— радиус основания конуса, h
— высота конуса, Тогда r
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника MPN
со сторонами a\sqrt{6}
, a\sqrt{6}
и 2a\sqrt{2}
. Если \angle PMN=\alpha
, то
\cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},
поэтому
r=\frac{PN}{2\sin\alpha}=\frac{a\sqrt{6}}{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{3}{2}a,~h=\sqrt{AP^{2}-r^{2}}=\sqrt{4a^{2}-\frac{9a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.
Пусть V_{1}
— объём конуса, V_{2}
— объём пирамиды. Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{9a^{2}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{3\pi a^{3}\sqrt{7}}{8},
V_{2}=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{3\pi a^{3}\sqrt{7}}{8}}{\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}}=\frac{9\pi\sqrt{2}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1978, билет 1, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 78-1-6, с. 201