7550. Найдите расстояние между прямой, проходящей через точки A(-3;0;1)
и B(2;1;-1)
, и прямой, проходящей через точки C(-2;2;0)
и D(1;3;2)
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{23}}
.
Указание. Через прямую AB
проведите плоскость, параллельную прямой CD
. Затем найдите расстояние от произвольной точки прямой CD
до проведённой плоскости.
Решение. Найдём координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
:
\overrightarrow{AB}=(2-(-3);1-0;-1-1)=(5;1;-2),
\overrightarrow{CD}=(1-(-2);3-2;2-0)=(3;1;2).
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный данным прямым. Тогда \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{CD}=0
, или
\syst{5a+b-2c=0\\3a+b+2c=0.\\}
Сложим почленно эти уравнения. Получим уравнение 8a+2b=0
, или 4a+b=0
. Положим a=2
. Тогда b=-4a=-8
, c=\frac{1}{2}(5a+b)=1
.
Через точку A(-3;0;1)
проведём плоскость, перпендикулярную вектору \overrightarrow{n}=(2;-8;1)
:
2(x+3)-8y+z-1=0,~\mbox{или}~2x-8y+z+5=0.
Расстояние от точки C(-2;2;0)
до этой плоскости равно расстоянию между прямыми AB
и CD
(см. задачу 7889). Если \rho
— искомое расстояние, то
\rho=\frac{|2\cdot(-2)-8\cdot2+0+5|}{\sqrt{2^{2}+8^{2}+1^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{69}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{23}}.