7553. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известно, что AB=3
, BC=2
, CC_{1}=4
. На ребре AB
взята точка M
, причём AM:MB=1:2
; K
— точка пересечения диагоналей грани CC_{1}D_{1}D
. Найдите угол и расстояние между прямыми D_{1}M
и B_{1}K
.
Ответ. \arccos\frac{5}{\sqrt{861}}
, \frac{20}{\sqrt{209}}
.
Указание. Выберите прямоугольную систему координат. Через прямую D_{1}M
проведите плоскость, параллельную прямой B_{1}K
. Затем найдите расстояние от произвольной точки прямой B_{1}K
до проведённой плоскости.
Решение. Выберем систему координат с началом в точке D_{1}
. Ось x
направим по лучу D_{1}C_{1}
, ось y
— по лучу D_{1}A_{1}
, ось z
— по лучу D_{1}D
. Тогда координаты концов отрезков D_{1}M
и B_{1}K
таковы:
D_{1}(0;0;0),~M(1;2;4),~B_{1}(3;2;0),~K\left(\frac{3}{2};0;2\right).
Найдём координаты векторов \overrightarrow{D_{1}M}
и \overrightarrow{B_{1}K}
:
\overrightarrow{D_{1}M}=(1;2;4),~\overrightarrow{B_{1}K}=\left(-\frac{3}{2};-2;2\right).
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{D_{1}M}
и \overrightarrow{B_{1}K}
. Тогда
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{D_{1}M}\cdot\overrightarrow{B_{1}K}}{|\overrightarrow{D_{1}M}|\cdot|\overrightarrow{B_{1}K}|}=\frac{-\frac{3}{2}-4+8}{\sqrt{(1+4+16)\left(\frac{9}{4}+4+4\right)}}=\frac{5}{\sqrt{21\cdot41}}=\frac{5}{\sqrt{861}}.
Если \alpha
— угол между прямыми D_{1}M
и B_{1}K
, то
\cos\alpha=|\cos\varphi|=\frac{5}{\sqrt{861}}.
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— вектор, перпендикулярный прямым D_{1}M
и B_{1}K
. Тогда \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{D_{1}M}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{B_{1}K}=0
, или
\syst{a+2b+4c=0\\\frac{3}{2}a-2b+2c=0.\\}
Сложив почленно эти уравнения, получим, что -\frac{1}{2}a+6c=0
, или a=12c
. Положим c=1
. Тогда a=12
, b=\frac{1}{2}(-a-4c)=-8
.
Через точку D_{1}
проведём плоскость, перпендикулярную вектору \overrightarrow{n}=(12;-8;1)
:
12x-8y+z=0.
Эта плоскость проходит через прямую D_{1}M
параллельно прямой B_{1}K
, значит, расстояние между прямыми D_{1}M
и B_{1}K
равно расстоянию от произвольной точки прямой B_{1}K
(например, от точки B_{1}(3;2;0)
) до этой плоскости (см. задачу 7889). Если \rho
— искомое расстояние, то
\rho=\frac{|12\cdot3-8\cdot2+0|}{\sqrt{12^{2}+8^{2}+1^{2}}}=\frac{20}{\sqrt{209}}.