7558. Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости Oxy
и Oyz
равны соответственно \sqrt{6}
и \sqrt{7}
, а площадь проекции на плоскость Oxz
— целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.
Ответ. 7.
Указание. Если вектор образует с осями координат углы \alpha
, \beta
и \gamma
, то
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1
(см. задачу 14614).
Решение. Пусть вектор, перпендикулярный плоскости исходного треугольника, образует с осями координат Ox
, Oy
и Oz
углы \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
Обозначим площадь исходного треугольника через S
, а площади проекций на координатные плоскости Oyz
, Oxz
и Oxy
через S_{x}
, S_{y}
и S_{z}
соответственно (S_{z}=\sqrt{6}
, S_{x}=\sqrt{7}
). По теореме о площади проекции плоской фигуры на плоскость
\sqrt{7}=S_{x}=S|\cos\alpha|,~S_{y}=S|\cos\beta|,~\sqrt{6}=S_{z}=S|\cos\gamma|.
Тогда
7+6+S_{y}^{2}=S^{2}\cos^{2}\alpha+S^{2}\cos^{2}\beta+S^{2}\cos^{2}\gamma=S^{2}(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma)=S^{2}.
Поэтому
S^{2}-S_{y}^{2}=13,~(S-S_{y})(S+S_{y})=13.
Поскольку оба сомножителя в левой части равенства — положительные целые числа, причём второй сомножитель больше первого, равенство возможно только в случае, когда
\syst{S-S_{y}=1\\S+S_{y}=13.\\}
Из этой системы находим, что S_{y}=7
.