14614. Докажите, что сумма квадратов площадей ортогональных проекций плоской фигуры на три попарно перпендикулярные плоскости равна квадрату площади этой фигуры.
Решение. Пусть плоскость \Pi
фигуры площади S
образует с тремя попарно перпендикулярными плоскостями углы \alpha
, \beta
и \gamma
. Тогда эти же углы образует прямая, перпендикулярная \Pi
с попарно перпендикулярными прямыми пересечения трёх плоскостей проекций (см. задачу 8970).
Пусть площади проекций равны S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
. Тогда (см. задачу 8093)
S_{1}=S\cos\alpha,~S_{2}=S\cos\beta,~S_{3}=S\cos\gamma,
а так как
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1
(см. задачу 7260), то
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}=S^{2}\cos^{2}\alpha+S^{2}\cos^{2}\beta+S^{2}\cos^{2}\gamma=
=S^{2}(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma)=S^{2}.
Что и требовалось доказать.