7677. Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны (равногранный тетраэдр). Докажите, что попарно равны двугранные углы при противоположных рёбрах тетраэдра.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD
, в котором AB=CD=c
, BC=AD=a
, AC=BD=b
. Его грани — равные треугольники. Обозначим углы каждой грани, противолежащие рёбрам AB
, BC
и AC
, через \gamma
, \alpha
и \beta
соответственно, а двугранные углы при рёбрах AB
и CD
соответственно x
и y
. По теореме косинусов для трёхгранных углов тетраэдра с вершинами A
и C
(см. задачу 7438) находим, что
\cos x=\cos\angle AB=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta},
\cos y=\cos\angle CD=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
Следовательно, x=y
.